一、分數乘法

一、分數乘法

（一）分數乘法的意義：

1、分數乘整數與整數乘法的意義相同。都是求幾個相同加數的和的簡便運算。例如：

8 ×5 表示求 5 個⁸ 的和是多少？

2、分數乘分數是求一個數的幾分之幾是多少。

例如：8 × ³ 表示求⁸ 的³ 是多少？

（二）、分數乘法的計算法則：

1、分數與整數相乘：分子與整數相乘的積做分子，分母不變。（整數和分母約分）

2、分數與分數相乘：用分子相乘的積做分子，分母相乘的積做分母。

3、為了計算簡便，能約分的要先約分，再計算。注意：當帶分數進行乘法計算時，要先把帶分數化成假分數再進行計算。

（三）、規律：（乘法中比較大小時）

一個數（0 除外）乘大于 1 的數，積大于這個數。

一個數（0 除外）乘小于 1 的數（0 除外），積小于這個數。

一個數（0 除外）乘 1，積等于這個數。

（四）、分數混合運算的運算順序和整數的運算順序相同。

（五）、整數乘法的交換律、結合律和分配律，對于分數乘法 也同樣適用。

乘法交換律： a × b = b × a

乘法結合律： ( a × b )×c = a × ( b × c ) 乘法分配律： （ a + b ）×c = a c + b c a c +

b c = （ a + b ）×c 二、分數乘法的解決問題

（已知單位“1”的量（用乘法），求單位“1”的幾分之幾是多少）

1、畫線段圖：

（1）兩個量的關系：畫兩條線段圖； （2）部分和整體的關系：畫一條線段圖。

2、找單位“1”： 在分率句中分率的前面； 或 “占”、 “是”、“比”的后面

3、求一個數的幾倍： 一個數×幾倍； 求一個數的幾

分之幾是多少： 一個數× 幾

 4、寫數量關系式技巧：

（1）“的” 相當于 “×” “占”、“是”、“比”相當于“ = ”

（2） 分率前是“的”： 單位“1”的量×分率=

分率對應量

（3） 分率前是“多或少”的意思： 單位“1”的量×（1 ± 分率）=分率對應量

三、倒數

1、倒數的意義： 乘積是 1 的兩個數互．為．倒數。

強調：互為倒數，即倒數是兩個數的關系，它們互相依存， 倒數不能單獨存在。

（要說清誰是誰的倒數）。2、求倒數的方法：

（1） 、求分數的倒數：交換分子分母的位置。

（2） 、求整數的倒數：把整數看做分母是 1 的分數，再交換分子分母的位置。

（3） 、求帶分數的倒數：把帶分數化為假分數，再求倒數。

（4） 、求小數的倒數： 把小數化為分數，再求倒數。

3、1 的倒數是 1； 0 沒有倒數。 因為 1×1=1；0 乘任何數都得 0， ¹ （分母不能為 0）0

二、分數除法

一、 分數除法

1、分數除法的意義：

乘法： 因數 × 因數 = 積 除法： 積 ÷ 一個因數 = 另一個因數

分數除法與整數除法的意義相同，表示已知兩個因數的積和其中一個因數，求另一個因數的運算。

2、分數除法的計算法則：

除以一個不為 0 的數，等于乘這個數的倒數。3、 規律（分數除法比較大小時）：

（1） 、當除數大于 1，商小于被除數；

（2） 、當除數小于 1（不等于 0），商大于被除數；

（3） 、當除數等于 1，商等于被除數。

4、 “[ ]”叫做中括號。一個算式里，如果既有小括號，又有中括號，要先算小括號里面的， 再算中括號里面的。

二、分數除法解決問題

（未知單位“1”的量（用除法）： 已知單位“1”的幾分之幾是多少，求單位“1”的量。 ）

1、數量關系式和分數乘法解決問題中的關系式相同：

（1） 分率前是“的”： 單位“1”的量×分率=分率對應量

（2） 分率前是“多或少”的意思： 單位“1”的量×（1 ± 分率）=分率對應量

2、解法：（建議：最好用方程解答）

（1） 方程： 根據數量關系式設未知量為 X，用方程解答。

（2） 算術（用除法）： 分率對應量÷對應分率 = 單位“1”的量

3、求一個數是另一個數的幾分之幾：就 一個數÷另一個數

4、求一個數比另一個數多（少）幾分之幾： 兩個數的相差量÷單位“1”的量 或：

① 求多幾分之幾：大數÷小數 – 1

② 求少幾分之幾： 1 - 小數÷大數三、比和比的應用

（一）、比的意義

1、比的意義：兩個數相除又叫做兩個數的比。

2、在兩個數的比中，比號前面的數叫做比的前項，比號后面的數叫做比的后項。比的前項除以后項所得的商，叫做比值。

例如 15 ：10 = 15÷10=3 （比值通常用分數表示，也可2以用小數或整數表示）

 

∶	∶	∶	∶
前項	比號	后項	比值

3、比可以表示兩個相同量的關系，即倍數關系。也可以表示兩個不同量的比，得到一個新量。例： 路程÷速度=時間。

4、區分比和比值

比：表示兩個數的關系，可以寫成比的形式，也可以用分數表示。

比值：相當于商，是一個數，可以是整數，分數，也可以是小數。

5、根據分數與除法的關系，兩個數的比也可以寫成分數形式。

6、 比和除法、分數的聯系：

 

比	前 項	比號“：”	后 項	比值
除 法	被除數	除號“÷	” 除 數	商
分 數	分 子	分數線 “—”	分 母	分數值

 

7、比和除法、分數的區別：除法是一種運算，分數是一個數， 比表示兩個數的關系。

8、根據比與除法、分數的關系，可以理解比的后項不能為 0。

體育比賽中出現兩隊的分是 2：0 等，這只是一種記分的形式，不表示兩個數相除的關系。

（二）、比的基本性質

1、根據比、除法、分數的關系：

不變的性質：被除數和除數同時乘或除以相同的數（0 除外），商不變。

分數的基本性質：分數的分子和分母同時乘或除以相同的數時（0 除外），分數值不變。

比的基本性質：比的前項和后項同時乘或除以相同的數(0 除外)，比值不變。

 

2、最簡整數比：比的前項和后項都是整數，并且是互質數， 這樣的比就是最簡整數比。

3、根據比的基本性質，可以把比化成最簡單的整數比。

4. 化簡比：

①用比的前項和后項同時除以它們的最大公因數。

 

（1） ②兩個分數的比：用前項后項同時乘分母的最小公倍數，再按化簡整

數比的方法來化簡。

 

③兩個小數的比：向右移動小數點的位置，先化成整數比再化簡。

 

（2） 用求比值的方法。注意: 最后結果要寫成比的形式。

 

如： 15∶10 = 15÷10 =

3 = 3∶2

2

5. 按比例分配：把一個數量按照一定的比來進行分配。這種方法通常叫做按比例分配。

如： 已知兩個量之比為 a : b ，則設這兩個量分別為

ax和bx 。

6、 路程一定，速度比和時間比成反比。（如：路程相同， 速度比是 4：5，時間比則為 5：4）

工作總量一定，工作效率和工作時間成反比。

（如：工作總量相同，工作時間比是 3：2，工作效率比則是2：3）

 

 

 

三、 圓

一、 認識圓

1、圓的定義：圓是由曲線圍成的一種平面圖形。

2、圓心：將一張圓形紙片對折兩次，折痕相交于圓中心的一點，這一點叫做圓心。

一般用字母 O 表示。它到圓上任意一點的距離都相

 

等．

3、半徑：連接圓心到圓上任意一點的線段叫做半徑。一般用字母 r 表示。

把圓規兩腳分開，兩腳之間的距離就是圓的半徑。4、直徑：通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用字母 d 表示。

直徑是一個圓內最長的線段。

5、圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。

6、在同圓或等圓內，有無數條半徑，有無數條直徑。所有的半徑都相等，所有的直徑都相等。

7．在同圓或等圓內，直徑的長度是半徑的 2 倍，半徑的長度

是直徑的¹ 。

2

用字母表示為：d＝2r 或r ＝ ^d

2

8、軸對稱圖形：

 

如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側的圖形能夠完全重合，這個圖形是軸對稱圖形。

折痕所在的這條直線叫做對稱軸。（經過圓心的任意一條直線或直徑所在的直線）

9、長方形、正方形和圓都是對稱圖形，都有對稱軸。這些圖形都是軸對稱圖形。

10、只有 1 一條對稱軸的圖形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圓。

只有 2 條對稱軸的圖形是： 長方形

只有 3 條對稱軸的圖形是： 等邊三角形只有 4 條對稱軸的圖形是： 正方形;

有無數條對稱軸的圖形是： 圓、圓環。二、圓的周長

1、圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長。用字母 C 表示。

2、圓周率實驗：

在圓形紙片上做個記號，與直尺 0 刻度對齊，在直尺上滾動一周，求出圓的周長。

發現一般規律，就是圓周長與它直徑的比值是一個固定數

（π）。

3．圓周率：任意一個圓的周長與它的直徑的比值是一個固定的數，我們把它叫做圓周率。

用字母π（pai） 表示。

（1） 、一個圓的周長總是它直徑的 3 倍多一些，這個比值是一個固定的數。

圓周率π是一個無限不循環小數。在計算時，一般取π

≈ 3.14。

（2） 、在判斷時，圓周長與它直徑的比值是π倍，而不是 3.14倍。

（3） 、世界上第一個把圓周率算出來的人是我國的數學家祖沖之。

4、圓的周長公式： C= πd d = C ÷π

或 C=2π r r = C ÷ 2π

5、在一個正方形里畫一個最大的圓，圓的直徑等于正方形的邊長。在一個長方形里畫一個最大的圓，圓的直徑等于長方形的寬。

6、區分周長的一半和半圓的周長：

（1） 周長的一半：等于圓的周長÷2 計算方法：2π r ÷ 2 即 π r

（2） 半圓的周長：等于圓的周長的一半加直徑。 計算方法：πr＋2r 即 5.14 r

三、圓的面積

1、圓的面積：圓所占平面的大小叫做圓的面積。 用字母 S 表示。

2、一條弧和經過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。頂點在圓心的角叫做圓心角。

 

 

3、圓面積公式的推導：

（1） 、用逐漸逼近的轉化思想： 體現化圓為方，化曲為直；化新為舊，化未知為已知，化復雜為簡單，化抽象為具體。

（2） 、把一個圓等分（偶數份）成的扇形份數越多，拼成的圖像越接近長方形。

（3） 、拼出的圖形與圓的周長和半徑的關系。

 

 

圓的半徑	=	長方形的寬
圓的周長的一半	=	長方形的長

因為： 長方形面積 = 長 × 寬

所以： 圓的面積 = 圓周長的一半 × 圓的半徑S 圓 = πr × r

圓的面積公式： S = πr2 r2 = S ÷ π

4、環形的面積：

一個環形，外圓的半徑是 R，內圓的半徑是 r。（R＝r＋環的寬度．）

 

S 環 = πR2－πｒ2 或

環形的面積公式： S _環 = π（R2－ｒ2）。

5、一個圓，半徑擴大或縮小多少倍，直徑和周長也擴大或縮小相同的倍數。

而面積擴大或縮小的倍數是這倍數的平方倍。 例如： 在同一個圓里，半徑擴大 3 倍，那么直徑和周長就都擴大 3

倍，而面積擴大 9 倍。

6、兩個圓： 半徑比 = 直徑比 = 周長比；而面積比等于這比的平方。 例如：

兩個圓的半徑比是 2∶3，那么這兩個圓的直徑比和周長比都是 2∶3，而面積比是 4∶9

7、任意一個正方形與它內切圓的面積之比都是一個固定值， 即：4∶π

8、當長方形，正方形，圓的周長相等時，圓面積最大，正方形居中，長方形面積最小。反之，面積相同時，長方形的周長最長，正方形居中，圓周長最短。

9、確定起跑線：

（1）、每條跑道的長度 = 兩個半圓形跑道合成的圓的周長 + 兩個直道的長度。

（2） 、每條跑道直道的長度都相等，而各圓周長決定每條跑道的總長度。（因此起跑線不同）

（3） 、每相鄰兩個跑道相隔的距離是： 2×π×跑道的寬度

（4） 、當一個圓的半徑增加ａ厘米時，它的周長就增加２π ａ厘米；當一個圓的直徑增加ａ厘米時，它的周長就增加πａ厘米。

11、常用各π值結果：

 

π = 3.14	5π	=	15.7	9π	=	28.26	36π	=	113.04
2π = 6.28	6π	=	18.84	10π	=	31.4	64π	=	200.96
3π = 9.42	7π	=	21.98	16π	=	50.24	96π	=	301.44

4π = 12.56 8π = 25.12 25π = 78.5

12、常用平方數結果

112

162

= 121 12

= 256 17

= 144 13

= 289 18

= 169 14

= 324 19

= 196 15

= 361

= 225

四、 百分數

 

一、百分數的意義和寫法

1、百分數的意義：表示一個數是另一個數的百分之幾。

 百分數是指的兩個數的比，因此也叫百分率或百分比。

 2、 千分數：表示一個數是另一個數的千分之幾。

3、 百分數和分數的主要聯系與區別：

（1） 聯系：都可以表示兩個量的倍比關系。

（2） 區別：

①、意義不同：百分數只表示兩個數的倍比關系，不能表示具體的數量，所以不能帶單位；

分數既可以表示具體的數，又可以表示兩個數的關系，表示具本數時可以帶單位。

②、百分數的分子可以是整數，也可以是小數；

分數的分子不能是小數，只能是除 0 以外的自然數。

4、百分數的寫法：通常不寫成分數形式，而在原來分子后面加上“％”來表示。

二、百分數和分數、小數的互化

（一）百分數與小數的互化：

1、小數化成百分數：把小數點向右移動兩位，同時在后面添上百分號。

2. 百分數化成小數：把小數點向左移動兩位，同時去掉百分號。

（二）百分數的和分數的互化1、百分數化成分數：

先把百分數化成分數，先把百分數改寫成分母是否 100 的分數， 能約分要約成最簡分數。

2、分數化成百分數：

① 用分數的基本性質，把分數分母擴大或縮小成分母是 100 的分數，再寫成百分數形式。

②先把分數化成小數（除不盡時，通常保留三位小數），再把小數化成百分數。

 

 

= 0.625 = 62.5%

 

= 0.125 = 12.5%

 

= 1.375 = 37.5%

 

= 0.875 = 87.5%

 

= 0.16 = 16﹪

25 25 25 25

三、用百分數解決問題

 

（一）一般應用題

1、常見的百分率的計算方法：

①合格率 =

 

 

③出勤率 =

合格產品數′100%

產品總數

 

出勤人數′100%

總人數

②發芽率 =

 

 

④達標率 =

發芽種子數′100%

種子總數

達標學生人數 ′100%

學生總人數

⑤成活率 =

成活的數量′100%

總數量

⑥出粉率 =

粉的重量出粉物的重量

′100%

⑦烘干率 =

烘干后的重量 ′100%

烘干前的重量

⑧含水率 =

烘干前的重量- 烘干后的重量 ′100%

烘干前的重量

一般來講，出勤率、成活率、合格率、正確率能達到 100%，出米率、出油率達不到 100%，完成率、增長了百分之幾等可以超過100%。（一般出粉率在 70、80%，出油率在 30、40%。）

2、已知單位“1”的量（用乘法），求單位“1”的百分之幾是多少的問題：

數量關系式和分數乘法解決問題中的關系式相同：

（1） 分率前是“的”： 單位“1”的量×分率=分率對應量

（2） 分率前是“多或少”的意思： 單位“1”的量×（1 ± 分率）= 分率對應量

3、未知單位“1”的量（用除法），已知單位“1”的百分之幾是多少，求單位“1”。

解法：（建議：最好用方程解答）

（1） 方程： 根據數量關系式設未知量為X，用方程解答。

（2） 算術（用除法）： 分率對應量÷對應分率 = 單位“1”的量 

4、求一個數比另一個數多（少）百分之幾的問題：

兩個數的相差量÷單位“1”的量 × 100% 或：

求多百分之幾：（大數÷小數 – 1） × 100%

② 求少百分之幾：（ 1 - 小數÷大數）× 100%

（二）、折扣

1、折扣：商品按原定價格的百分之幾出售，叫做折扣。通稱“打折”。

幾折就表示十分之幾，也就是百分之幾十。例如八折= 六折五=0.65=65﹪

8 =80﹪,

10

2、 一成是十分之一，也就是 10%。三成五就是十分之三點五，也

就是 35%

（三）、納稅

1、納稅：納稅是根據國家稅法的有關規定，按照一定的比率把集體或個人收入的一部分繳納給國家。

2、納稅的意義：稅收是國家財政收入的主要來源之一。國家用收來的稅款發展經濟、科技、教育、文化和國防安等事業。

3、應納稅額：繳納的稅款叫做應納稅額。

4、稅率：應納稅額與各種收入的比率叫做稅率。

5、應納稅額的計算方法：應納稅額 = 總收入 × 稅率

（四）利息

1、存款分為活期、整存整取和零存整取等方法。

2、儲蓄的意義：人們常常把暫時不用的錢存入銀行或信用社，儲蓄起來，這樣不僅可以支援國家建設，也使得個人用錢更加安全和有計劃，還可以增加一些收入。

3、本金：存入銀行的錢叫做本金。

4、利息：取款時銀行多支付的錢叫做利息。

5、利率：利息與本金的比值叫做利率。

6、利息的計算公式：利息＝本金×利率×時間

7、注意：如要上利息稅（國債和教育儲藏的利息不納稅），則： 稅后利息=利息-利息的應納稅額=利息-利息×利息稅率=利息×

（1-利息稅率）

 五、扇形統計圖

一、扇形統計圖的意義：

用整個圓的面積表示總數，用圓內各個扇形面積表示各部分數量同總數之間的關系。

也就是各部分數量占總數的百分比（因此也叫百分比圖）。二、常用統計圖的優點：

1、條形統計圖：可以清楚的看出各種數量的多少。

2、折線統計圖：不僅可以看出各種數量的多少，還可以清晰看出數量的增減變化情況。

3、扇形統計圖：能夠清楚的反映出各部分數量同總數之間的關系。

三、扇形的面積大小：在同一個圓中，扇形的大小與這個扇形的圓心角的大小有關，圓心角越大，扇形越大。（因此扇形面積占圓面積的百分比，同時也是該扇形圓心角度數占圓周角度數的百分比。）

六、 比例

1、比例的意義 ：表示兩個比相等的式子叫做比例。如：2：1=6：3

2、組成比例的四個數，叫做比例的項。兩端的兩項叫做外項，

 

中間的兩項叫做內項。

3、比例的性質 ：在比例里，兩個外項的積等于兩個兩個內向的積。這叫做比例的基本性質。例如：由 3：2=6:4 可知 3×4=2×6； 或者由x×1.5=y×1.2 可知x：y=1.2: 1.5。

（利用比例的意義和比例的基本性質可以判斷兩個比是否成比例）

4、解比例 ：根據比例的基本性質，如果已知比例中的任何三項，就可以求出這個數比例中的另外一個未知項。求比例中的未知項，叫做解比例。

例如：3：x = 4：8，內項乘內項，外項乘外項，則：4x =3×8， 解得x=6。

5  、正比例和反比例 ：（1）、成正比例的量： 兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，他們的關系叫做正比例關系。 用字母表示y/x=k(一定）

例如：①、速度一定，路程和時間成正比例；因為：路程÷時間= 速度（一定）。

②、圓的周長和直徑成正比例，因為：圓的周長÷直徑=圓周率（一定）。

③、圓的面積和半徑不成比例，因為：圓的面積÷半徑=圓周

率和半徑的積（不一定）。

④、y=5x，y 和 x 成正比例，因為：y÷x=5（一定）。

⑤、每天看的頁數一定，總頁數和天數成正比例，因為：總頁數

÷天數=每天看頁數（一定）。

（2）、成反比例的量 ：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，他們的關系叫做反比例關系。 用字母表示x×y=k(一定)

例如：①、路程一定，速度和時間成反比例，因為：速度×時間= 路程（一定）。

②、總價一定，單價和數量成反比例，因為：單價×數量= 總價（一定）。

③、長方形面積一定，它的長和寬成反比例，因為：長×寬= 長方形的面積（一定）。

④、40÷x=y，x 和 y 成反比例，因為：x×y=40（一定）。

⑤、煤的總量一定，每天的燒煤量和燒的天數成反比例，因為： 每天燒煤量×天數=煤的總量（一定）。

6、圖上距離：實際距離=比例尺；比例尺有兩種形式：數值比例尺和線段比例尺。

例如：1、圖上距離 2cm，實際距離 4km，則比例尺為 2cm： 4km，最后求得比例尺是 1:200000。

2、：在一幅某鄉農作物布局圖上，20 厘米表示實際距離 16 千米。求這幅圖的比例尺。

16 千米 = 1600000 厘米20 =1600000

3、例題：說出下面比例尺表示的意思。

 

這是線段比例尺，它表示圖上 1 厘米的距離代表實際距離 200 千米。

7、實際距離=圖上距離÷比例尺；

例如：已知圖上距離 2cm 和比例尺，則實際距離為：2÷

1 =400000cm=4km。

200000

8、圖上距離=實際距離×比例尺；

例如：已知實際距離 4km 和比例尺 1:200000，則圖上距離為：

400000×

1 =2（cm）

200000

9、圖形的放大或縮小把一個圖形按一定比放大或縮小，就是把它的每條邊按一定的比放大或縮小。（比的前項大于比的后項是放大，反之是縮小）

常用單位換算

長度單位換算

1 千米=1000 米 1 米=10 分米 1 分米=10 厘米 1 米=100 厘米 1

厘米=10 毫米面積單位換算

1 平方千米=100 公頃 1 公頃=10000 平方米 1 平方米=100 平

方分米

1 平方分米=100 平方厘米 1 平方厘米=100 平方毫米體(容)積單位換算

1 立方米=1000 立方分米 1 立方分米=1000 立方厘米 1 立方分米=1 升

1 立方厘米=1 毫升 1 立方米=1000 升重量單位換算

1 噸=1000 千克 1 千克=1000 克 1 千克=1 公斤人民幣單位換算

1 元=10 角 1 角=10 分 1 元=100 分時間單位換算

1 世紀=100 年 1 年=12 月 大月(31 天)有:1\3\5\7\8\10\12 月 小月(30 天)的有:4\6\9\11 月

平年 2 月 28 天, 閏年 2 月 29 天 平年全年 365 天, 閏年全年 366

天 1 日=24 小時

1 時=60 分 1 分=60 秒 1 時=3600 秒